稠密範疇（一）

一般拓樸學內說稠密子集合，指的是一個空間 $X$ 內的子集 $D$，凡是 $X$ 內的元素要嘛在 $D$ 裡頭，要嘛是由 $D$ 的 limit point。而給定兩個連續函數 $f, g\colon X \to Y$ 從 $X$ 到一個 Hausdorff 空間 $Y$，若 $f$ 跟 $g$ 在任一個稠密集合相等，則 $f$ 與 $g$ 必定也在 $X$ 相等。類似的概念延伸到範疇上，我們可以定義稠密函子，使得子範疇的 inclusion functor 成為其特例。

首先記得所謂的 comma category：給定兩個函子 $K, S\colon \mathscr{A} \to \mathscr{C}$ ，定義一範疇的物件為所有從 $Ka$ 到 $Sa'$ 的態設，而物件間的態設為一對 $\mathscr{A}$ 上的態設 $f\colon a \to b, g\colon a' \to b'$ 滿足以下的交換圖
\[
\xymatrix{
  Ka \ar[d]_{Kf} \ar[r] & Sa' \ar[d]^{Sg} \\
  Kb \ar[r] & Sb'
}
\]
而且自然地，我們有兩個 forgetful functor
其中若 $S$ 為常數函子，以上的交換圖則退化成以下的三角交換圖：
\[
\xymatrix{
Ka \ar[d]_{Kf} \ar[r] & c \\
Kb \ar[ru]
}
\]
其中 $f\colon a \to b$。而且自然有一個 forgetful 函子 $P^c$ 將 $Ka \to c$ 對應到 $a$。回到稠密的定義如下：

範疇論的學習進程

對於理論電腦科學的研究生來說，範疇論書籍的選擇跟數學系的稍微不同，以下是給自己的建議：

入門書的部分

• Mac Lane 的 Categories for Working Mathematician 對數學背景的學生是非常好的起點，尤其是修過研究所代數，大概對於 colimits, limits, universal property 以及 adjunction 已經有粗略的概念。對數理邏輯沒興趣的，跳過 topos 跟 foundation 跟 metacategory。跳過七八兩章，直到 Kan extension 之前大概都需要熟悉。第八章如果需要要學 homology 或是學過再回來看就好。跳過的部分之後再補都好。
• Goldblatt 的 Topoi: The Categorial Analysis of Logic 其實是基礎的範疇論介紹，加上 topos 理論的基礎。細節寫得很詳細，非數學基礎的人應該也能看得懂。topos 跟邏輯間的關係寫得不錯，而且本書是作者的畢業論文，網路上就能下載。
• B. Lawvere 寫的 Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories 據說不錯，但我沒仔細看過。

範疇論有了基礎概念 (CWM) 後，接下來才是挑戰的開始，有幾本書可以參考：