範疇論的學習進程

對於理論電腦科學的研究生來說，範疇論書籍的選擇跟數學系的稍微不同，以下是給自己的建議：

入門書的部分

• Mac Lane 的 Categories for Working Mathematician 對數學背景的學生是非常好的起點，尤其是修過研究所代數，大概對於 colimits, limits, universal property 以及 adjunction 已經有粗略的概念。對數理邏輯沒興趣的，跳過 topos 跟 foundation 跟 metacategory。跳過七八兩章，直到 Kan extension 之前大概都需要熟悉。第八章如果需要要學 homology 或是學過再回來看就好。跳過的部分之後再補都好。
• Goldblatt 的 Topoi: The Categorial Analysis of Logic 其實是基礎的範疇論介紹，加上 topos 理論的基礎。細節寫得很詳細，非數學基礎的人應該也能看得懂。topos 跟邏輯間的關係寫得不錯，而且本書是作者的畢業論文，網路上就能下載。
• B. Lawvere 寫的 Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories 據說不錯，但我沒仔細看過。

範疇論有了基礎概念 (CWM) 後，接下來才是挑戰的開始，有幾本書可以參考：

•  Borceux 寫的 Handbook of Categorical Algebra 第一冊有許多進階的議題，例如範疇上的分解系統（factorisation system）跟 reflective subcategories 的對應，還有範疇上的 Cauchy 完備化構造，正如標題所示是百科全書型的。本書的寫法比較基礎，每個證明都有完整有時稍嫌囉唆，各個章節拆開來看也不會有什麼問題，建議是用到再看。偶爾會有小錯誤，讀者應有能力修正。
• Handbook of Categorical Algebra 第二冊，集中在代數範疇及相關的概念，enriched category theory 跟纖叢（fibration），這幾個主題都只有入門題材深度不夠，但容易上手。一樣有需要再看。
• 至於第三冊就可以不用看了，有心理解 topos 理論的話，Mac Lane 跟 Moerdijk 寫的 Sheaves in Geometry and Logic 以及 P. Johnstone 寫的 Sketches of Elephants 才夠。
• Adámek 跟 Rosicky 寫的 Locally Presentable and Accessible Categories 討論一大類日常會用到的範疇，建立了一階邏輯與範疇間的對應，也給了非常多的例子，不需要其他的額外知識就能讀。值得從頭到尾看完，手法比較接近 CWM 非常具體。
• M. Kelly 的 Basic Concepts in Enriched Category Theory 算是學習 enriched category theory 最完整的書，但非常難讀抽象而且細節很多都被略過了。前三章的內容可以先看前面提的 Handbook of Categorical Algebra，再跳回來看 Kelly。難懂但仍然值得一讀。此書手法非常漂亮，尤其是 Yoneda lemma, weighted (co)limits, 跟各種高階抽象觀念的大量運用，往回讀 CWM 的 density 跟 accessible category 會有種豁然開朗的感覺。
•  B. Jacobs, Categorical Logic and Type Theory 跟前面的都沒什麼關係，主要討論 fibration 跟數理邏輯與 type theory 之間的關係，基本上是 Curry-Howard correspondence 的範疇版本。雖然很厚將近八百頁，但是讀起來很順暢，細節處理得不錯，習題設計也很好。

基本上電腦科學界的研究論文，用到範疇論的大多在這幾本都找得到足夠的背景知識。另外，也有在入門書之前更基礎的書，給完全沒數學背景的讀者：像是 S. Awodey 的 Category Theory 或是 B. Pierce 寫的 Basic Category Theory for Computer Scientists。但看完後要搞懂 CWM 依然很困難。

最後，倒行逆施法：Mac Lane 馬上接著 M. Kelly （全部）。這樣遇到範疇論應該沒有看不懂的。二維範疇還可以用 "a category enriched by the category of small categories" 來理解；更高維的如法炮製。能夠在短期之內看完的話，的確是很省事 ...